Diposting Minggu, 17 Oktober 2010 jam 4:45 am oleh The X

Bilangan apa yang berada tepat di sebelah kanan nol?

Suka dengan artikel ini?

Jelajahi artikel-artikel FaktaIlmiah yang berdasarkan apa yang dibaca dan ditonton teman-teman.
Terbitkan aktivitas Anda sendiri dan dapatkan kendali penuh.
Login

Minggu, 17 Oktober 2010 -


Mereka mampu berpikir logis dan mengklasifikasikan objek dalam kategori yang berbeda, namun masih belum mampu berpikir abstrak. Karenanya matematika yang diajarkan pada anak SD bukanlah matematika abstrak seperti rumus-rumus dasar, namun pemisalan.

Untuk menggambarkan himpunan bilangan berurut kepada anak SD, guru matematika menggunakan garis bilangan. Contoh garis bilangan dapat kamu lihat pada gambar di bawah

Nah, kita dapat melihat dengan jelas kalau antara 0 dan 1, atau antara 1 dan 2 dapat diletakkan bilangan baru. Kita ambil saja antara 0 dan 1, kita peroleh 0.5. Kita buat lagi bilangan di antara 0 dan 0.5, misalkan 0.2. Kita ambil lagi bilangan di antara 0 dan 0.2 dst. Pada akhirnya akan timbul pertanyaan, bilangan apa yang berada tepat di sebelah kanan nol?

Pola pikir anak SD ini mencerminkan miskonsepsi kalau himpunan bilangan real bersifat diskrit (berbutir-butir) bukannya kontinyu. Satu-satunya jawaban bila kita menganggapnya diskrit adalah 1. Bilangan yang tepat berada di sebelah kanan 0 adalah 1. Segampang itu.

Himpunan bilangan bulat

1 adalah jawaban untuk bilangan yang berada tepat di sebelah kanan nol bila himpunan bilangan yang dibicarakan adalah bilangan bulat. Tapi bilangan bulat hanyalah bagian dari himpunan bilangan real.

Himpunan bilangan real

Dalam himpunan bilangan real, maka bilangan yang tepat berada di sebelah kanan 0 pastilah merupakan bilangan positif. Hal ini karena himpunan bilangan real terbagi menjadi tiga berdasarkan tanda, bilangan real negatif, nol, dan bilangan real positif. Bahasa anak SD nya, negatif di sebelah kiri, nol di tengah-tengah, dan positif di sebelah kanan.

Anggap saja ada bilangan positif terkecil yang lebih besar dari nol. Sebutlah ia r sehingga 0 < r. Walau begitu, kita bisa membagi dua r, menjadi r/2 sehingga 0 < r/2 < r. Tapi r/2 lebih kecil dari r dan lebih besar dari nol. Ini kontradiktif karena r secara definisi adalah bilangan positif terkecil. Karenanya, tidak ada bilangan positif terkecil.

Bukti diatas menggunakan bukti lewat kontradiktif. Dalam matematika, ada beberapa jenis bukti. Jenis bukti tersebut antara lain: Bukti langsung, Bukti lewat kontradiksi, Induksi matematika, Bukti kemustahilan, Bukti eksistensi dan Bukti dengan kontraposisi.

Himpunan bilangan Levi-Civita

Tapi yang namanya matematikawan maunya yang pasti. Itu mengapa matematika disebut ilmu pasti toh. Agar tetap ada sebuah bilangan yang tepat berada di sebelah kanan 0, maka diberilah ia nama infinitesimal. Simbolnya adalah epsilon kecil atau kalau di tulis di sini adalah e. e lebih kecil dari semua bilangan real positif tapi lebih besar dari nol. Karenanya ia bukan anggota himpunan bilangan real. Jadi, anggota apa? Disebutlah ia himpunan bilangan Levi-Civita. Sesuai nama Tullio Levi-Civita, matematikawan yang mengajukan medan ini. Dalam himpunan bilangan Levi-Civita, 6e lebih besar dari e, tapi tetap lebih kecil dari semua bilangan real positif. Masalahnya, e kuadrat adalah bilangan yang lebih kecil dari e, dan jelas lebih dekat ke 0. Kita kembali ke masalah seperti yang terdapat dalam himpunan bilangan real tadi. Tapi matematikawan tidak mau terjebak dalam regresi tak terhingga seperti perdebatan siapa pencipta Tuhan. Karenanya e harus di definisi ulang. e adalah bilangan yang lebih kecil dari semua bilangan real positif, namun lebih besar dari nol. Itu saja. Ia bukan yang terkecil, tapi ia lebih kecil dari semua bilangan real.

Kesimpulan

Matematika hanya mempelajari hal yang terdefinisi dengan baik. Adanya bilangan positif terkecil akan merusaknya. Anggap saja bilangan tersebut ada dan kita sebut e. Kemudian kita akan mengalami kontradiksi karena setengah dari e tentu lebih kecil dari e, tapi tetap lebih besar dari nol.

Tidak ada bilangan terkecil yang lebih besar dari nol. Tidak ada bilangan 1/aleph0, tidak ada bilangan 1/omega, dan tidak ada bilangan 0.00……001 (dengan ada tak terhingga banyaknya 0 yang mengisi titik-titik tersebut di atas.

Referensi

1. George Lakoff and Rafael E. Núñez. 2001. Reply to Bonnie Gold’s review of
“Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being”
.

2. Fernando Gouvêa. 1998. Review of What is Mathematics, Really

3. David Tall, “Looking at graphs through infinitesimal microscopes, windows and telescopes,Mathematical Gazette, 64 22– 49

4. Dales, H. Garth; Woodin, W. Hugh (1996), Super-real fields, London Mathematical Society Monographs. New Series, 14, The Clarendon Press

5. Claus Tøndering. 2005. Surreal Numbers

6. Richard Heck. October 17, 2008.  Mathematics

7. Jim Loy. 1999.  Proof

8. Physics Forum. 2004.  The smallest real number?

The X
Sains adalah sebuah pengetahuan universal, ilmu pengetahuan tidaklah sama dengan pengetahuan dongeng. Kadang, fakta lebih menyakitkan daripada doktrin / pandangan turun temurun.
Bergabung dengan 1000 orang lebih dengan kami melalui sosial media

Berlangganan artikel dan berita terbaru dari kami via email


Aktifitas

© 2010 FaktaIlmiah.com. Hak cipta asli oleh faktailmiah
Anda boleh mendistribusikannya dengan mencantumkan referensi dari situs kami.